约瑟夫环

约瑟夫环问题,一圈M个人，轮流报数，第N个将被淘汰（自杀），最后一个是谁？面试的时候，再次问到了这个问题！程序大概思路是采用模拟算法，数组或者是链表解决问题！

程序本来用到了memset函数，请查看：memset函数用法(int类型，可清0，但是不可赋值)。

解法一（数组）：

[cpp]

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
int M,N,*p,i,j,k,Result; //i,j变量,num计数
scanf(“%d%d”,&M,&N);
p =(int *)malloc((M+1)*sizeof(int));
for(i=1;i<=M;i++) //1存在，0淘汰
p[i]=1;
for(k=0,j=0,i=1;i<=M;i++)
{
if(p[i]==1) //人存在
{
j+=p[i];
if(j==N) //符合淘汰条件，淘汰
{
j=0;p[i]=0;++k;
}
if(k==M)
{
Result=i;break;
}
}
if(i==M) i=0;
}
printf(“The last one is:%d\n”,Result);
free(p);
return 0;
}

[/cpp]

运行结果：

解法二（数学问题解法）：

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k –> 0
k+1 –> 1
k+2 –> 2
…
…
k-2 –> n-2
k-1 –> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 —- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式:
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：（来源百度百科）

程序如下：

[cpp]#include <stdio.h>
int main()
{
int M, N, i, s = 0;
scanf(“%d%d”,&M,&N);
for (i = 2; i <= M; i++)
{
s = (s + N) % i;
}
printf (“The last one is:%d\n”, s+1);
}[/cpp]

运行结果：